Πανελλήνιες: Μαθηματικά και στοιχεία στατιστικής γενικής παιδείας

ΘΕΜΑ 1o
A. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι
Ρ(Α»Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β)
Μονάδες 10

B. Αν x1,x2,…,xκ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν (κ≤ν), να ορίσετε τη σχετική συχνότητα fi της τιμής xi, i=1,2,…,κ.
Μονάδες 5

Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.
α. Για το γινόμενο δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων f, g ισχύει ότι
())x(g)x(f)x(g)x(f)x(g)x(f+′′=′
Μονάδες 2
β. Aν Α, Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε ισχύει ότι
BABA

Μονάδες 2
ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
γ. Για τη συνάρτηση f(x)=ημx ισχύει ότι
x)x(συν−=′ημ
Μονάδες 2
δ. Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής μεταβλητής.
Μονάδες 2
ε. Η μέση τιμή ενός συνόλου ν παρατηρήσεων είναι ένα μέτρο θέσης.
Μονάδες 2

ΘΕΜΑ 2ο
Στον επόμενο πίνακα δίνονται οι τιμές xi, i=1,2,3,4 μιας μεταβλητής Χ με αντίστοιχες συχνότητες νi, i=1,2,3,4. Η συχνότητα ν2 που αντιστοιχεί στην τιμή x2=3 είναι άγνωστη. Δίνεται ότι η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι ίση με =4. −x
xi
νi
2
6
3
;
5
3
8
4
α. Να αποδείξετε ότι ν2=7.
Μονάδες 9
β. Να αποδείξετε ότι η διακύμανση των παρατηρήσεων είναι ίση με 4,9.
Μονάδες 9
γ. Να εξετάσετε αν το δείγμα των τιμών της μεταβλητής X είναι ομοιογενές.
Δίνεται ότι 2,29,4≈
Μονάδες 7
ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
ΘΕΜΑ 3o
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x3−6x2+αx−7, όπου α πραγματικός αριθμός, για την οποία ισχύει
∈=+′+′′x,x315)x(f)x(f22
α. Να δείξετε ότι α=9
Μονάδες 7
β. Να υπολογίσετε το όριο 121−′→x)x(flimx
Μονάδες 8
γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f, η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία y=−3x
Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 4ο
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=lnx−2x +λ2−6λ+2, x>0 όπου λ ένας πραγματικός αριθμός.
Α. α. Να προσδιοριστεί το διάστημα στο οποίο η f είναι γνησίως αύξουσα και το διάστημα στο οποίο η f είναι γνησίως φθίνουσα.
Μονάδες 6
β. Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τα ακρότατα.
Μονάδες 6
Β. Θεωρούμε ότι οι τιμές της συνάρτησης f(2), f(4), f(8), f(3) και f(5) είναι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ.
α. Αν R είναι το εύρος και δ η διάμεσος των παρατηρήσεων, να δειχθεί ότι
R=3+ ln41 και δ= ln4+λ2−6λ
Μονάδες 7
ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ
β. Έστω ο δειγματικός χώρος Ω={1,2,3,…,100} ο οποίος αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα. Aν το λ παίρνει τιμές στο δειγματικό χώρο Ω, να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου
Α={λ∈Ω | R+δ<−2} Μονάδες 6